זהויות 6: קוסינוס של זווית כפולהטריגונומטריה 571 · שיעור 43
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 42 – זהויות 6: קוסינוס של זווית כפולה
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – שלוש הצורות
3סעיף ב – cos(2x)
4סעיף ג – cos x
5סעיף ד – הצלע BC
📄 נוסח השאלה
א. בדף הנוסחאות: cos(2x) = cos2x − sin2x. היעזרו בזהות היסודית והראו שתי צורות נוספות: cos(2x) = 2cos2x − 1 ו־cos(2x) = 1 − 2sin2x.
ב. נתון sin x = 0.6 ו־x זווית חדה. מצאו את cos(2x).
ג. נתון cos(2x) = 0.28 ו־x זווית חדה. מצאו את cos x.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. במשולש שווה שוקיים ABC נתון AB = AC = k ו־∢BAC = 2x. היעזרו במשפט הקוסינוסים והראו כי BC = 2k · sin x.
סעיף א – שלוש הצורות
sin2x = 1 − cos2x
📐 זהות יסודית
cos(2x) = cos2x − (1 − cos2x)
cos(2x) = 2cos2x − 1
cos2x = 1 − sin2x
📐 זהות יסודית
cos(2x) = (1 − sin2x) − sin2x
cos(2x) = 1 − 2sin2x
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף א – שלוש הצורות · המשך
cos(2x) = 1 − 2sin2x
בוחרים את הצורה לפי מה שנתון: נתון סינוס – 1 − 2sin2x; נתון קוסינוס – 2cos2x − 1.
✅ פתרון סופי: cos(2x) = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
סעיף ב – cos(2x)
cos(2x) = 1 − 2sin x2
📐 קוסינוס של זווית כפולה
נציב את הנתון sin x = 0.6:
cos(2x) = 1 − 2 · 0.62 = 1 − 2 · 0.36
cos(2x) = 1 − 0.72 = 0.28
✅ פתרון סופי: cos(2x) = 0.28
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
סעיף ג – cos x
cos(2x) = 2cos2x − 1
📐 קוסינוס של זווית כפולה
נציב את הנתון cos(2x) = 0.28:
2cos2x − 1 = 0.28
2cos2x = 1.28
cos2x = 0.64
cos x = 0.8
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
סעיף ג – cos x · המשך
cos x = 0.8
(זווית חדה – קוסינוס חיובי)
✅ פתרון סופי: cos x = 0.8
סעיף ד – הצלע BC
הצלע BC מול הזווית ∢BAC = 2x:
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos∢BAC
📐 משפט הקוסינוסים
נציב AB = AC = k ו־∢BAC = 2x:
BC2 = k2 + k2 − 2 · k · k · cos(2x)
BC2 = 2k2(1 − cos(2x))
1 − cos(2x) = 2sin2x
📐 קוסינוס של זווית כפולה
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
סעיף ד – הצלע BC · המשך
1 − cos(2x) = 2sin2x
📐 קוסינוס של זווית כפולה
נציב 1 − cos(2x) = 2sin2x:
BC2 = 2k2 · 2sin2x = 4k2sin2x
BC = 2k · sin x
(אורך חיובי, והסינוס של זווית במשולש חיובי.) אותה תוצאה כמו בשיעור הקודם בעזרת הגובה.
✅ פתרון סופי: BC = 2k · sin x
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
📌 סיכום התשובות
סעיף א
cos(2x) = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
סעיף ב
cos(2x) = 0.28
סעיף ג
cos x = 0.8
סעיף ד
BC = 2k sin x
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא